2. Variantes

Je proposerai ici deux variantes du jeu de Dobble, pas forcément jouables, mais qui peuvent être intéressantes du point de vue mathématique.

2.1. Diffle

Lors d’une discussion sur les math derrière le Dobble, quelqu’un m’a posé la question suivante : Est-il possible de faire un jeu similaire au Dobble, sauf qu’au lieu que chaque couple de cartes ait exactement un symbole commun, chaque couple de cartes aurait tous ses symboles communs, sauf un sur chaque carte ?

La réponse est : c’est possible, mais ça n’est pas intéressant.

2.1.1. Quelques exemples

À première vue, nous cherchons un ensemble de cartes tels que deux cartes quelconques aient tous leurs symboles différents, sauf un sur chaque. Voici un exemple de jeu de Diffle valide.

\begin{tikzpicture}
  \draw (0,1) node[carte]{\begin{tikzpicture}
      \node[symbole, left] {1};
      \node[symbole] {2};
      \node[symbole, right] {3};
      \end{tikzpicture}};
  \draw (0,-1) node[carte]{\begin{tikzpicture}
      \node[symbole, left] {2};
      \node[symbole] {3};
      \node[symbole, right] {4};
      \end{tikzpicture}};
  \draw (1,0) node[carte]{\begin{tikzpicture}
      \node[symbole, left] {1};
      \node[symbole] {3};
      \node[symbole, right] {4};
      \end{tikzpicture}};
  \draw (-1,0) node[carte]{\begin{tikzpicture}
      \node[symbole, left] {1};
      \node[symbole] {2};
      \node[symbole, right] {4};
      \end{tikzpicture}};
\end{tikzpicture}

Fig. 2.1 Jeu de Diffle

Une première famille de jeux valides est assez simple à constituer : il suffit de prendre un nombre quelconque de cartes, avec un unique symbole par cartes, tous les symboles étant différents. Cela fonctionne, mais le jeu n’est pas vraiment intéressant. De même, on peut imaginer des jeux avec des cartes de taille variable, ou des symboles apparaissant de manière irrégulière. Mais nous perdons alors la régularité des configurations de Dobble.

Essayons de construire des configurations plus intéressantes.

2.1.2. Configuration valide

Les définitions de base sont les mêmes que celles du Dobble.

Définition 2.1 (Configuration valide)
  • Convention : Les symboles sont les nombres entiers positifs (1, 2, 3…).
  • Une configuration de Diffle est dite valide si tout couple de cartes a tous ses symboles en commun, sauf un sur chaque carte.
Propriété 2.2
Nous remarquons immédiatement que toutes les cartes d’une configuration valide de Diffle ont le même nombre de symboles.

Le problème avec ces définitions est que la proposition triviale proposée plus haut (un unique symbole sur chaque carte) est une configuration valide. Mais elle n’est pas intéressante à jouer.

Pour ajouter de la difficulté, nous pouvons ajouter autant de symboles identiques à toutes les cartes, comme sur l’exemple suivant.

Exemple 2.3

\begin{tikzpicture}
  \draw (0,0) node[carte]{\begin{tikzpicture}
      \draw (0, 0em) node[symbole] {1};
      \draw (0, 1em) node[symbole] {5};
      \draw (0, 2em) node[symbole] {6};
      \draw (0, 3em) node[symbole] {7};
      \end{tikzpicture}};
  \draw (1,0) node[carte]{\begin{tikzpicture}
      \draw (0, 0em) node[symbole] {2};
      \draw (0, 1em) node[symbole] {5};
      \draw (0, 2em) node[symbole] {6};
      \draw (0, 3em) node[symbole] {7};
      \end{tikzpicture}};
  \draw (2,0) node[carte]{\begin{tikzpicture}
      \draw (0, 0em) node[symbole] {3};
      \draw (0, 1em) node[symbole] {5};
      \draw (0, 2em) node[symbole] {6};
      \draw (0, 3em) node[symbole] {7};
      \end{tikzpicture}};
  \draw (3,0) node[carte]{\begin{tikzpicture}
      \draw (0, 0em) node[symbole] {4};
      \draw (0, 1em) node[symbole] {5};
      \draw (0, 2em) node[symbole] {6};
      \draw (0, 3em) node[symbole] {7};
      \end{tikzpicture}};
\end{tikzpicture}

Cette configuration est valide, mais pas vraiment intéressante non plus : un joueur expérimenté remarquera assez vite que les symboles 5, 6, 7 sont toujours en commun (donc peuvent être ignorés), mais que les symboles 1, 2, 3, 4 sont toujours des symboles différents, à repérer.

Ajoutons des contraintes pour éviter ces configurations peu intéressantes.

2.1.3. Configuration régulière

Nous prenons alors la définition suivante pour une configuration de Diffle dite régulière. Elle paraît peu contraignante, mais nous verrons qu’elle suffit pour montrer que des configurations de Diffle jouables n’existent pas.

Définition 2.4 (Configuration régulière)

Une configuration valide de Diffle est dite régulière si pour tout symbole \(s\) :

  • il existe un couple de cartes contenant toutes les deux ce symbole ;
  • il existe un couple de cartes dont l’une contient \(s\), et l’autre ne contient pas \(s\).
Propriété 2.5 (Définition équivalente)

Une configuration valide de \(n\) cartes est régulière si et seulement si, pour tout symbole \(s\) :

  • \(s\) apparait au moins deux fois ;
  • \(s\) apparait au plus \(n-1\) fois.

De telles configurations existent : le premier exemple donné dans cette partie est une configuration régulière.

Nous allons maintenant caractériser ces configurations régulières.

2.1.4. Configurations canoniques

Il est très facile de construire une configuration régulière.

Définition 2.6 (Configuration canonique)

Étant donné un entier \(n\geq2\), on appelle configuration régulière canonique de taille \(n\) (ou plus simplement configuration canonique de taille \(n\)) la configuration constituée :

  • des symboles \(1, 2, \cdots, n\) ;
  • des cartes \(\left[1, n\right]\backslash\left\{i\right\}\), pour chacun des nombres \(i\) allant de \(1\) à \(n\) (en d’autres termes, chaque carte contient tous les symboles sauf un).
Propriété 2.7
Toute configuration canonique est valide et régulière.
Démonstration
Laissée au lecteur patient.
Exemple 2.8

Voici la configuration canonique de taille 5 : chaque carte contient tous les nombres de 1 à 5, sauf un.

\begin{tikzpicture}
  \draw (0,0) node[carte]{\begin{tikzpicture}
      \draw (0ex, 0) node[symbole] {2};
      \draw (1.2ex, 0) node[symbole] {3};
      \draw (2.4ex, 0) node[symbole] {4};
      \draw (3.6ex, 0) node[symbole] {5};
      \end{tikzpicture}};
  \draw (2,0) node[carte]{\begin{tikzpicture}
      \draw (0ex, 0) node[symbole] {1};
      \draw (1.2ex, 0) node[symbole] {3};
      \draw (2.4ex, 0) node[symbole] {4};
      \draw (3.6ex, 0) node[symbole] {5};
      \end{tikzpicture}};
  \draw (4,0) node[carte]{\begin{tikzpicture}
      \draw (0ex, 0) node[symbole] {1};
      \draw (1.2ex, 0) node[symbole] {2};
      \draw (2.4ex, 0) node[symbole] {4};
      \draw (3.6ex, 0) node[symbole] {5};
      \end{tikzpicture}};
  \draw (6,0) node[carte]{\begin{tikzpicture}
      \draw (0ex, 0) node[symbole] {1};
      \draw (1.2ex, 0) node[symbole] {2};
      \draw (2.4ex, 0) node[symbole] {3};
      \draw (3.6ex, 0) node[symbole] {5};
      \end{tikzpicture}};
  \draw (8,0) node[carte]{\begin{tikzpicture}
      \draw (0ex, 0) node[symbole] {1};
      \draw (1.2ex, 0) node[symbole] {2};
      \draw (2.4ex, 0) node[symbole] {3};
      \draw (3.6ex, 0) node[symbole] {4};
      \end{tikzpicture}};
\end{tikzpicture}

C’est une configuration régulière mais ce n’est pas une bonne configuration à jouer pour autant : par exemple, un jeu de 55 cartes (comme le Dobble) possèderait 54 symboles par cartes, ce qui serait bien trop confus et compliqué. Existe-t-il d’autres configurations que celles-ci ? La réponse est malheureusement non.

2.1.5. Caractérisation des solutions

Commençons par un lemme, utile pour prouver la propriété suivante.

Lemme 2.9
Soit une configuration telle que l’union de tout couple de cartes \(c_1\), \(c_2\) contient l’ensemble des symboles de la configuration. Alors cette configuration est le sous-ensemble d’une configuration canonique (à un renommage des symboles près).
Démonstration

Soit \(C\) une telle configuration, et \(c_1\) et \(c_2\) deux de ses cartes. Alors \(c_1\cup c_2\) contient tous les symboles. Mais puisque la configuration est valide, \(c_2\) possède un seul symbole absent de \(c_1\) : \(c_1\) contient donc tous les symboles sauf un.

En faisant le même raisonnement pour chacune des cartes de \(C\), nous pouvons montrer que chaque carte contient tous les symboles sauf un : c’est une configuration canonique (ou un sous-ensemble d’une telle configuration).

Propriété 2.10 (Caractérisation des configurations intéressantes)
Toute configuration régulière est une configuration canonique, ou un sous-ensemble d’une configuration canonique (une configuration canonique à laquelle il manque des cartes).
Démonstration

Prouvons cette propriété par l’absurde, en prenant \(C\) une configuration régulière qui ne soit pas un sous-ensemble d’une configuration canonique. Nous allons montrer que \(C\) n’existe pas. Faisons une disjonction des cas sur le nombre de cartes \(\operatorname{card} C\) de \(C\).

  • Premier cas : \(C\) a deux cartes. Alors il existe un unique couple de cartes de \(C\) et, de manière triviale, tout couple de cartes contient l’ensemble des symboles. Par le lemme précédent, \(C\) est canonique, ce qui est en contradiction avec notre hypothèse.

  • Second cas : \(C\) a au moins trois cartes. Prenons deux cartes \(c_1\) et \(c_2\) telles que \(c_1\cup c_2\) ne contienne pas tous les symboles du jeu (un tel couple existe, sans quoi, par le lemme précédent, la configuration serait (un sous-ensemble d’une configuration) canonique, ce qui est contraire à l’hypothèse). Considérons (à une permutation près des symboles) que :

    • le symbole 1 est présent dans \(c_1\) mais pas dans \(c_2\) ;
    • le symbole 2 est présent dans \(c_2\) mais pas dans \(c_1\) ;
    • le symbole 3 est présent dans les deux cartes ;
    • éventuellement, d’autres symboles sont présents dans les deux cartes.

    Notons que les cartes ont au moins deux symboles (puisqu’elles ont toutes le même nombre de symboles, si l’une d’entre elles a un seul symbole, toutes ont un seul symbole, et la configuration n’est pas régulière).

    \begin{tikzpicture}
  \draw (0,0) node[carte]{\begin{tikzpicture}
      \draw (0, -0em) node[symbole] {1};
      \draw (0, -1em) node[symbole] {3};
      \draw (0, -2em) node[symbole] {\vdots};
      \end{tikzpicture}};
  \draw (1,0) node[carte]{\begin{tikzpicture}
      \draw (0, -0em) node[symbole] {2};
      \draw (0, -1em) node[symbole] {3};
      \draw (0, -2em) node[symbole] {\vdots};
      \end{tikzpicture}};
\end{tikzpicture}

    Prenons maintenant une troisième carte \(c_3\), et \(4\) un symbole de \(c_3\) n’appartenant ni à \(c_1\) ni à \(c_2\) (un tel symbole existe par hypothèse sur \(c_1\) et \(c_2\)).

    • Si \(C\) contient trois cartes, alors le symbole \(4\) n’apparait que sur une carte, et la configuration n’est pas régulière, ce qui est en contradiction avec notre hypothèse.

    • Donc \(C\) contient plus de trois cartes. Puisque la configuration est régulière, il existe une carte \(c_4\) contenant le symbole \(4\).

      \begin{tikzpicture}
  \draw (0,0) node[carte,anchor=south]{\begin{tikzpicture}
      \draw (0, 2em) node[symbole] {1};
      \draw (0, 1em) node[symbole] {3};
      \draw (0, 0em) node[symbole] {\vdots};
      \end{tikzpicture}};
  \draw (0, 0) node[below]{$c_1$};
  \draw (1,0) node[carte,anchor=south]{\begin{tikzpicture}
      \draw (0, 2em) node[symbole] {2};
      \draw (0, 1em) node[symbole] {3};
      \draw (0, 0em) node[symbole] {\vdots};
      \end{tikzpicture}};
  \draw (1, 0) node[below]{$c_2$};
  \draw (2,0) node[carte,anchor=south]{\begin{tikzpicture}
      \draw (0, 2em) node[symbole] {4};
      \draw (0, 1em) node[symbole] {\vdots};
      \draw (0, 0em) node[symbole] {\vdots};
      \end{tikzpicture}};
  \draw (2, 0) node[below]{$c_3$};
  \draw (3,0) node[carte,anchor=south]{\begin{tikzpicture}
      \draw (0, 2em) node[symbole] {4};
      \draw (0, 1em) node[symbole] {\vdots};
      \draw (0, 0em) node[symbole] {\vdots};
      \end{tikzpicture}};
  \draw (3, 0) node[below]{$c_4$};
\end{tikzpicture}

      Les cartes \(c_3\) et \(c_4\) contiennent tous les symboles de \(c_1\) sauf un, et tous les symboles de \(c_2\) sauf un.

      • Supposons que \(c_3\) contienne le symbole 1. Alors elle ne contient pas un des autres symboles de \(c_1\), par exemple 3 (à une permutation près). Donc, de même, elle contient tous les symboles de \(c_2\) sauf 3, donc elle contient 2. Elle contient donc deux symboles qui n’apparaissent pas dans \(c_1\) : 2 et \(4\). La configuration n’est donc pas valide.
      • Donc \(c_3\) ne contient pas le symbole 1. Puisque 1 apparait dans \(c_1\) mais pas dans \(c_3\), et que 4 apparait dans \(c_3\) mais pas dans \(c_1\), puisque la configuration est valide, la carte \(c_3\) est identique à \(c_1\) en remplaçant le symbole 1 par 4.

      Et le même raisonnement s’applique également à \(c_4\), donc cette carte est également dans le deuxième cas : elle est identique à \(c_1\) en remplaçant le symbole 1 par 4.

      Les deux cartes \(c_3\) et \(c_4\) sont donc identiques, donc le jeu n’est pas valide, ce qui est contraire à notre hypothèse de départ.

Nous avons montré que dans tous les cas, l’hypothèse départ ne peut pas être valide. En d’autres termes, il n’existe pas de configuration régulière qui ne soit pas un sous-ensemble d’une configuration canonique.

2.1.6. Bilan

Nous avons montré que, même avec des contraintes de régularité assez faibles, il n’existe pas de configuration de Diffle intéressante à jouer. Dommage…

2.2. Mémobble

Le Mémobble est un mélange de Dobble et de Mémory.

2.2.1. Règles

Le jeu est composé l’un ensemble de cartes, sur lesquelles sont dessinées plusieurs symboles (comme pour un jeu de Dobble). Elles sont disposées face cachée sur la table, et à son tour, un joueur :

  • retourne deux cartes ;
  • si ces deux cartes ont un symbole en commun, la première personne à l’annoncer remporte les deux cartes ;
  • sinon, elles sont remises face cachée sur la table.

Le jeu s’arrête lorsqu’il n’y a plus de cartes sur la table ; la personne ayant ramassé le plus de cartes a gagné la partie.

2.2.2. Intérêt

Tuons tout espoir dans l’œuf : ce jeu n’a aucun intérêt.

Je l’ai testé avec de petites configurations, et il est beaucoup trop difficile : se souvenir de la position des symboles n’est déjà pas facile au Mémory, mais dans cette version, il y a plusieurs symboles par carte à mémoriser.

Un ami a résumé le problème de la manière suivante : « Ça ressemble au dobble, mais en moins bien ; ça ressemble au mémory, mais en moins bien ».

Heureusement, s’il n’a pas d’intérêt ludique, il a un intérêt mathématique.

2.2.3. Modélisation

Un tel jeu doit être construit de manière à rendre les blocages impossibles. Imaginons par exemple les deux parties suivantes, jouées avec le même jeu. Sont représentés les cartes restant sur la table ; les deux cartes grisées à chaque étape sont celle allant être retirées du jeu.

\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
\begin{scope}
  \draw[thick, rounded corners=5pt](-.7, -.5) rectangle (2.7, 1);

  \draw (0,0) node[carte, fill=lightgray]{1 2 3};
  \draw (1,0) node[carte]{1 4 5};
  \draw (2,0) node[carte, fill=lightgray]{2 4 6};
  \draw (0,.5) node[carte]{3 7 8};
  \draw (1,.5) node[carte]{5 7 9};
  \draw (2,.5) node[carte]{6 8 9};

  \draw (1, -.8) node{Étape 1};
  \end{scope}

\begin{scope}[shift={(4, 0)}]
  \draw[thick, rounded corners=5pt](-.7, -.5) rectangle (2.7, 1);

  %\draw (0,0) node[carte, fill=lightgray]{1 2 3};
  \draw (1,0) node[carte, fill=lightgray]{1 4 5};
  %\draw (2,0) node[carte, fill=lightgray]{2 4 6};
  \draw (0,.5) node[carte, fill=lightgray]{3 7 8};
  \draw (1,.5) node[carte]{5 7 9};
  \draw (2,.5) node[carte]{6 8 9};

  \draw (1, -.8) node{Étape 2};
  \end{scope}

\begin{scope}[shift={(8, 0)}]
  \draw[thick, rounded corners=5pt](-.7, -.5) rectangle (2.7, 1);

  %\draw (0,0) node[carte, fill=lightgray]{1 2 3};
  %\draw (1,0) node[carte, fill=lightgray]{1 4 5};
  %\draw (2,0) node[carte, fill=lightgray]{2 4 6};
  %\draw (0,.5) node[carte, fill=lightgray]{3 7 8};
  \draw (1,.5) node[carte, fill=lightgray]{5 7 9};
  \draw (2,.5) node[carte, fill=lightgray]{6 8 9};

  \draw (1, -.8) node{Étape 3};
  \end{scope}

\begin{scope}[shift={(12, 0)}]
  \draw[thick, rounded corners=5pt](-.7, -.5) rectangle (2.7, 1);

  %\draw (0,0) node[carte, fill=lightgray]{1 2 3};
  %\draw (1,0) node[carte, fill=lightgray]{1 4 5};
  %\draw (2,0) node[carte, fill=lightgray]{2 4 6};
  %\draw (0,.5) node[carte, fill=lightgray]{3 7 8};
  %\draw (1,.5) node[carte, fill=lightgray]{5 7 9};
  %\draw (2,.5) node[carte, fill=lightgray]{6 8 9};

  \draw (1, -.8) node{Étape 4};
  \end{scope}
\end{tikzpicture}

Fig. 2.2 Pas de blocage

Dans cette première partie présentée ci-dessus, tout se déroule convenablement, et la partie se termine.

\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
\begin{scope}
  \draw[thick, rounded corners=5pt](-.7, -.5) rectangle (2.7, 1);

  \draw (0,0) node[carte, fill=lightgray]{1 2 3};
  \draw (1,0) node[carte]{1 4 5};
  \draw (2,0) node[carte, fill=lightgray]{2 4 6};
  \draw (0,.5) node[carte]{3 7 8};
  \draw (1,.5) node[carte]{5 7 9};
  \draw (2,.5) node[carte]{6 8 9};

  \draw (1, -.8) node{Étape 1};
  \end{scope}

\begin{scope}[shift={(4, 0)}]
  \draw[thick, rounded corners=5pt](-.7, -.5) rectangle (2.7, 1);

  %\draw (0,0) node[carte, fill=lightgray]{1 2 3};
  \draw (1,0) node[carte]{1 4 5};
  %\draw (2,0) node[carte, fill=lightgray]{2 4 6};
  \draw (0,.5) node[carte, fill=lightgray]{3 7 8};
  \draw (1,.5) node[carte, fill=lightgray]{5 7 9};
  \draw (2,.5) node[carte]{6 8 9};

  \draw (1, -.8) node{Étape 2};
  \end{scope}

\begin{scope}[shift={(8, 0)}]
  \draw[thick, rounded corners=5pt](-.7, -.5) rectangle (2.7, 1);

  %\draw (0,0) node[carte, fill=lightgray]{1 2 3};
  \draw (1,0) node[carte]{1 4 5};
  %\draw (2,0) node[carte, fill=lightgray]{2 4 6};
  %\draw (0,.5) node[carte, fill=lightgray]{3 7 8};
  %\draw (1,.5) node[carte, fill=lightgray]{5 7 9};
  \draw (2,.5) node[carte]{6 8 9};

  \draw (1, -.8) node{Étape 3};
  \end{scope}
\end{tikzpicture}

Fig. 2.3 Blocage

En revanche, dans cette seconde partie, réalisée avec les mêmes cartes de départ, la situation se bloque, car les cartes restantes n’ont aucun symbole en commun. Si, dans cet exemple, les joueurs se rendent compte facilement que la partie est terminée, il est possible d’imaginer assez facilement des situations où de nombreuses cartes restent, sans aucun symbole en commun. Dans ce cas, les joueurs ont peu de chance de remarquer que la partie est terminée.

Cette situation de blocage ne doit donc pas arriver.

2.2.3.1. Graphe

Comme dans la partie précédente, un jeu peu être représenté par un graphe, où :

  • les sommets correspondent aux cartes ;
  • les arêtes aux symboles en commun (il existe une arête entre deux sommets si les deux cartes correspondantes ont un symbole en commun).

Par exemple, le jeu étudié à la partie précédente est modélisé par le graphe suivant (où, pour plus de clarté, les arêtes prennent la couleur des symboles qu’elles représentent).

\begin{tikzpicture}[scale=2]
  \node[carte] (123) at (90:.5) {\textcolor{red}{1} \textcolor{green}{2} \textcolor{orange}{3}};
  \node[carte] (145) at (210:.5) {\textcolor{red}{1} \textcolor{cyan}{4} \textcolor{purple}{5}};
  \node[carte] (246) at (330:.5) {\textcolor{green}{2} \textcolor{cyan}{4} \textcolor{gray}{6}};
  \node[carte] (378) at (90: 1.5) {\textcolor{orange}{3} \textcolor{olive}{7} \textcolor{yellow}{8}};
  \node[carte] (579) at (210: 1.5) {\textcolor{purple}{5} \textcolor{olive}{7} \textcolor{blue}{9}};
  \node[carte] (689) at (330: 1.5) {\textcolor{gray}{6} \textcolor{yellow}{8} \textcolor{blue}{9}};

  \draw[very thick, red] (123) -- (145);
  \draw[very thick, green] (123) -- (246);
  \draw[very thick, orange] (123) -- (378);
  \draw[very thick, cyan] (145) -- (246);
  \draw[very thick, purple] (145) -- (579);
  \draw[very thick, gray] (246) -- (689);
  \draw[very thick, olive] (378) -- (579);
  \draw[very thick, yellow] (378) -- (689);
  \draw[very thick, blue] (579) -- (689);
\end{tikzpicture}

Fig. 2.4 Graphe modélisant le jeu précédent.

2.2.3.2. Quelques propriétés

Le problème du blocage peut alors être reformulé de la manière suivante.

Définition 2.11 (Configuration valide)

Une configuration est valide si la procédure suivante (appliquée à son graphe) aboutit toujours à un graphe vide :

  • choisir une arête au hasard ;
  • supprimer les deux sommets aux extrémités de cette arête (et toutes les autres arêtes ayant un de ces deux sommets pour extrémité) ;
  • recommencer.

Une configuration n’est alors pas valide s’il est possible de se retrouver dans une situation où il reste des sommets, mais pas d’arête.

Comme pour l’étude du jeu de Dobble, une certaine régularité dans les jeux étudiés est appréciée.

Définition 2.12 (Configuration régulière)

Une configuration valide est dite régulière si :

  • chaque carte contient le même nombre de symboles ;
  • chaque symbole apparaît autant de fois.

2.2.3.3. Connexité et Union disjointe

Commençons par définir une configuration connexe.

Définition 2.13 (Configuration connexe)
Une configuration est dite connexe si son graphe est connexe (d’autres termes si, partant d’une carte, en se déplaçant de cartes en cartes uniquement si elles ont un symbole en commun, on peut arriver à n’importe quelle autre carte).

Si les configurations connexes sont intéressantes, c’est parce que l’union disjointe de deux configurations valides est elle aussi valide (Propriété 2.15).

Définition 2.14 (Union disjointe)
On appelle union disjointe de deux configurations la configuration composée des cartes des deux configurations de bases, dans laquelle les symboles ont été renommés (si nécessaire) pour que les deux configurations d’origine n’aient aucun symbole en commun.
Propriété 2.15 (Union disjointe de configurations valides)
L’union disjointe de configurations valides est une configuration valide.
Démonstration
La démonstration est laissée au lecteur patient.

L’union disjointe est intéressante parce qu’étaint connues plusieurs configurations valides, il est possible de construire une nouvelle configuration composée des configurations connexes valides.

2.2.4. Algorithmes

Présentons quelques algorithmes de génération de configurations régulières connexes. D’autres configurations non connexes valides (mais pas nécessairement régulières) peuvent être crées en unissant des configurations connexes.

2.2.4.1. Dobble

Un jeu de Dobble n’est pas une configuration valide, pour la simple raison qu’il est composé d’un nombre impair de cartes (alors qu’une configuration de Mémobble valide doit avoir un nombre pair de cartes).

En enlevant une carte à un jeu de Dobble, cela crée une configuration de Mémobble valide, mais qui n’est pas régulière.

2.2.4.2. Graphe complet

Une configuration représentée par un graphe complet (dans lequel il existe une arête entre n’importe quel couple de sommets) d’ordre pair (ayant un nombre pair de sommets) est une configuration valide. Reste à trouver les cartes et les symboles qui permettent d’obtenir un tel graphe.

Une première méthode est de prendre un jeu de Dobble (dont le graphe est complet), mais nous avons vu précédemment qu’un tel jeu ne constitue pas une configuration valide, sauf à lui enlever une carte, auquel cas elle n’est pas régulière.

Une autre méthode, moins fine, consiste à créer un symbole pour chacune des arêtes. C’est un des algorithmes implémenté dans le logiciel. Un exemple à quatre cartes est donné ci-dessous.

\begin{tikzpicture}[scale=2]
  \node[carte] (123) at (0, 0) {\textcolor{blue}{1} \textcolor{green}{2} \textcolor{red}{3}};
  \node[carte] (145) at (0, 1) {\textcolor{blue}{1} \textcolor{purple}{4} \textcolor{cyan}{5}};
  \node[carte] (246) at (1, 0) {\textcolor{green}{2} \textcolor{purple}{4} \textcolor{orange}{6}};
  \node[carte] (356) at (1, 1) {\textcolor{red}{3} \textcolor{cyan}{5} \textcolor{orange}{6}};

  \draw[very thick, blue] (123) -- (145);
  \draw[very thick, green] (123) -- (246);
  \draw[very thick, red] (123) -- (356);
  \draw[very thick, purple] (145) -- (246);
  \draw[very thick, cyan] (145) -- (356);
  \draw[very thick, orange] (246) -- (356);
\end{tikzpicture}

Fig. 2.5 Configuration à partir d’un graphe complet.

2.2.4.3. Graphe bipartite complet

Un autre algorithme est l’utilisation d’un graphe bipartite complet dans laquelle chacun des deux sous-ensembles a le même nombre de cartes. Celui-ci est constitué de deux ensembles de cartes. Chaque carte est adjacente (partage une arête avec) chacune des cartes de l’autre ensemble, et uniquement celles-là. Un exemple à six cartes est donné ci-dessous.

\begin{tikzpicture}[scale=2]
  \node[carte] (123) at (0, 0) {\textcolor{blue}{1} \textcolor{green}{2} \textcolor{red}{3}};
  \node[carte] (456) at (1, 0) {\textcolor{purple}{4} \textcolor{orange}{5} \textcolor{cyan}{6}};
  \node[carte] (789) at (2, 0) {\textcolor{yellow}{7} \textcolor{teal}{8} \textcolor{lightgray}{9}};
  \node[carte] (147) at (0, 1) {\textcolor{blue}{1} \textcolor{purple}{4} \textcolor{yellow}{7}};
  \node[carte] (258) at (1, 1) {\textcolor{green}{2} \textcolor{orange}{5} \textcolor{teal}{8}};
  \node[carte] (369) at (2, 1) {\textcolor{red}{3} \textcolor{cyan}{6} \textcolor{lightgray}{9}};

  \draw[very thick, blue] (123) -- (147);
  \draw[very thick, green] (123) -- (258);
  \draw[very thick, red] (123) -- (369);
  \draw[very thick, purple] (456) -- (147);
  \draw[very thick, orange] (456) -- (258);
  \draw[very thick, cyan] (456) -- (369);
  \draw[very thick, yellow] (789) -- (147);
  \draw[very thick, teal] (789) -- (258);
  \draw[very thick, lightgray] (789) -- (369);
\end{tikzpicture}

Fig. 2.6 Graphe bipartite complet

Propriété 2.16 (Graphe bipartite complet)
Une configuration représentée par un graphe bipartite complet est valide.
Démonstration
La preuve est très simple, une fois qu’il a été remarqué que la suppression d’un couple de cartes est toujours possible tant qu’il reste au moins une carte dans chaque sous-ensemble, et enlève toujours une carte dans chacun des deux sous-ensembles.

Une fois encore, je n’ai pas réussi à trouver d’autre configuration que celle consistant à utiliser un symbole différent pour chaque arête (contrairement aux configurations de Dobble, où les symboles correspondent à plusieurs arêtes). Autrement dit, je n’ai pas réussi à faire en sorte que chaque symbole apparaisse plus de deux fois.

2.2.5. Conclusion

Je n’ai pas trouvé d’autres configurations régulières, ni même valide. Ce qui me frustre est que je n’ai réussi à trouver aucune configuration dans laquelle chaque symbole apparait plus de deux fois.

Un autre regret est que je n’arrive pas à caractériser la validité d’une configuration autrement qu’en décrivant la suppression successive de couples de cartes, jusqu’à épuisement.

2.2.6. Logiciel

usage: python -m jouets.dobble.memobble [-h] [-v] [-n NUM] [-s SUB]
                                        [-a {bipartite,complet}] [-r] [-g]
                                        [-f {tex,raw}]

2.2.6.1. Named Arguments

-v, --version show program’s version number and exit
-n, --num Number of cards in each sub-game.
-s, --sub Number of sub-games.
-a, --algo

Possible choices: bipartite, complet

Algorithm to use to create each sub-game.

Default: « bipartite »

-r, --random

Random seed.

Default: 0

-g, --group

Highlight connex groups of cards.

Default: False

-f, --format

Possible choices: tex, raw

Output format: “tex” (LuaLaTeX code), “raw” (raw list of card numbers).

Default: « raw »