==================== Analyse mathématique ==================== Je n'ai aucune idée de la manière dont je pourrais étudier ce problème d'un point de vue général. Donc nous allons commencer par un cas particulier, pour réduire la complexité : un jeu de bataille avec un jeu de deux couleurs de deux cartes chacune. Cas particulier : Deux cartes dans deux couleurs ================================================ Pour étudier ce problème, dressons le graphe probabiliste qui correspond à la situation. Graphe ------ .. tikz:: Graphe probabiliste d'un jeu de bataille à deux couleurs de deux cartes chacune. :include: graphe-proba-2-2.tikz Quelques précisions sur ce graphe. Description des sommets """"""""""""""""""""""" - Le sommet :math:`A` représente l'état initial, avant la distribution des cartes. Les quatre cartes peuvent être distribuées de quatre manières différentes, correspondant aux sommets :math:`B`, :math:`C`, :math:`F`, :math:`G`. - Le sommet :math:`J` représente l'état final, lorsque la partie est terminée. - Sur les autres sommets (sauf :math:`A` et :math:`J`), le paquet de carte est représenté. Chaque colonne correspond au paquet d'une joueuse, et les nombres aux numéros des cartes (les couleurs ne sont pas représentées). Par exemple, le sommet :math:`E` correspond à la situation où une des joueuse n'a plus qu'une carte (2) et l'autre a trois cartes (de haut en bas : 1 2 1). Remarquons deux choses : - l'ordre des joueuses n'a aucune importance : elles peuvent être permutées sans changer les probabilités ; - les couleurs des cartes n'ont aucune importance. Transitions """"""""""" - Les probabilités n'interviennent que pour le rangement des cartes (une fois le pli résolu). - Puisque :math:`J` est l'état final, cet état ne change pas, ce qui est symbolisé par une probabilité 1 de rester en :math:`J`. - Étudions les probabilités de distribution des cartes. Comment peut-on distribuer quatre cartes :math:`a`, :math:`b`, :math:`c`, :math:`d` en deux paquets ? Il y a 24 possibilités. .. container:: columns .. math:: \begin{array}{|cc|} \hline a & b \\ c & d \\ \hline \end{array} .. math:: \begin{array}{|cc|} \hline a & b \\ d & c \\ \hline \end{array} .. math:: \begin{array}{|cc|} \hline a & c \\ b & d \\ \hline \end{array} .. math:: \begin{array}{|cc|} \hline a & c \\ d & b \\ \hline \end{array} .. math:: \begin{array}{|cc|} \hline a & d \\ b & c \\ \hline \end{array} .. math:: \begin{array}{|cc|} \hline a & d \\ c & b \\ \hline \end{array} .. math:: \begin{array}{|cc|} \hline b & a \\ c & d \\ \hline \end{array} .. math:: \begin{array}{|cc|} \hline b & a \\ d & c \\ \hline \end{array} .. math:: \begin{array}{|cc|} \hline b & c \\ a & d \\ \hline \end{array} .. math:: \begin{array}{|cc|} \hline b & c \\ d & a \\ \hline \end{array} .. math:: \begin{array}{|cc|} \hline b & d \\ a & c \\ \hline \end{array} .. math:: \begin{array}{|cc|} \hline b & d \\ c & a \\ \hline \end{array} .. math:: \begin{array}{|cc|} \hline c & a \\ b & d \\ \hline \end{array} .. math:: \begin{array}{|cc|} \hline c & a \\ d & b \\ \hline \end{array} .. math:: \begin{array}{|cc|} \hline c & b \\ a & d \\ \hline \end{array} .. math:: \begin{array}{|cc|} \hline c & b \\ d & a \\ \hline \end{array} .. math:: \begin{array}{|cc|} \hline c & d \\ a & b \\ \hline \end{array} .. math:: \begin{array}{|cc|} \hline c & d \\ b & a \\ \hline \end{array} .. math:: \begin{array}{|cc|} \hline d & a \\ b & c \\ \hline \end{array} .. math:: \begin{array}{|cc|} \hline d & a \\ c & b \\ \hline \end{array} .. math:: \begin{array}{|cc|} \hline d & b \\ a & c \\ \hline \end{array} .. math:: \begin{array}{|cc|} \hline d & b \\ c & a \\ \hline \end{array} .. math:: \begin{array}{|cc|} \hline d & c \\ a & b \\ \hline \end{array} .. math:: \begin{array}{|cc|} \hline d & c \\ b & a \\ \hline \end{array} Enfin, en attribuant les valeurs 1, 1, 2, 2 aux cartes :math:`a`, :math:`b`, :math:`c`, :math:`d`, on obtient les probabilités décrites par les transitions allant de l'état :math:`A` aux états :math:`B`, :math:`C`, :math:`F`, :math:`G`. Probabilités ------------ Cela va être compliqué de déterminer toutes les probabilités, mais nous pouvons en calculer quelques unes. - Tout d'abord, remarquons que si la partie commence en :math:`B`, :math:`F` ou :math:`G`, le nombre de plis joués avant la fin est impair ; si la partie commence en :math:`C`, il est pair. Cela veut dire que la probablité d'avoir un nombre de plis pair est de :math:`1/3`, la probabilité d'avoir un nombre de plis impairs est :math:`2/3`. - La partie ne dure qu'un pli si et seulement si elle commence en :math:`F` ou :math:`G`. Donc la probabilité d'avoir un seul pli est :math:`1/3`. - La partie ne dure que deux plis si et seulement si elle commence en :math:`C`, ce qui donne une probabilité de :math:`1/3`. - Sinon, la partie dure au moins trois plis, avec une probabilité de :math:`1/3` également. Comparaison ----------- En étudiant les :download:`résultats d'un million de simulations ` (décrits à la :ref:`partie précédente `), on tombe sur les mêmes résultats. ============== =========== ========= Nombre de plis Probablitié Fréquence ============== =========== ========= Pair 1/3 0,332986 Impair 2/3 0,667014 1 1/3 0,333510 2 1/3 0,332986 3 et plus 1/3 0,333504 ============== =========== ========= Les résultats théoriques sont concordants avec les observations des simulations. Cela signifie probablement l'une des deux choses suivantes : - soit mes calculs et ma simulation sont correctes ; - soit j'ai fait la même erreur dans les deux cas. Généralisation ============== En théorie, il serait possible de généraliser cette méthode à n'importe quel nombre de cartes. En pratique, le nombre d'états de mon graphe serait énorme. Étudions le cas avec une couleur de treize cartes. Il y aurait alors :math:`13!\times12` états possibles. En effet, le nombre de combinaisons possibles de ces treize cartes en un tas unique est :math:`13!`, que l'on peut ensuite découper en deux tas de 12 manières différentes. Cela donne donc :math:`13!\times12\approx 7,5\times10^{10}`, soit plus de sept milliards d'états. Pour un jeu de 52 cartes (13 numéros pour chacune des 4 couleurs), le nombre d'états serait encore plus vertigineux. À moins de trouver de très bonnes optimisations, étudier tous ces états avec un ordinateur me paraît inenvisageable. Conclusion ========== À défaut de pouvoir généraliser cette analyse mathématique à plus de cartes, elle ne sert malheureusement qu'à valider le modèle informatique décrit dans la partie qui précède.