2. Analyse mathématique

Je n’ai aucune idée de la manière dont je pourrais étudier ce problème d’un point de vue général. Donc nous allons commencer par un cas particulier, pour réduire la complexité : un jeu de bataille avec un jeu de deux couleurs de deux cartes chacune.

2.1. Cas particulier : Deux cartes dans deux couleurs

Pour étudier ce problème, dressons le graphe probabiliste qui correspond à la situation.

2.1.1. Graphe

Figure made with TikZ

Fig. 2.1 Graphe probabiliste d’un jeu de bataille à deux couleurs de deux cartes chacune.

Quelques précisions sur ce graphe.

2.1.1.1. Description des sommets

  • Le sommet \(A\) représente l’état initial, avant la distribution des cartes. Les quatre cartes peuvent être distribuées de quatre manières différentes, correspondant aux sommets \(B\), \(C\), \(F\), \(G\).

  • Le sommet \(J\) représente l’état final, lorsque la partie est terminée.

  • Sur les autres sommets (sauf \(A\) et \(J\)), le paquet de carte est représenté. Chaque colonne correspond au paquet d’une joueuse, et les nombres aux numéros des cartes (les couleurs ne sont pas représentées). Par exemple, le sommet \(E\) correspond à la situation où une des joueuse n’a plus qu’une carte (2) et l’autre a trois cartes (de haut en bas : 1 2 1).

Remarquons deux choses :

  • l’ordre des joueuses n’a aucune importance : elles peuvent être permutées sans changer les probabilités ;

  • les couleurs des cartes n’ont aucune importance.

2.1.1.2. Transitions

  • Les probabilités n’interviennent que pour le rangement des cartes (une fois le pli résolu).

  • Puisque \(J\) est l’état final, cet état ne change pas, ce qui est symbolisé par une probabilité 1 de rester en \(J\).

  • Étudions les probabilités de distribution des cartes. Comment peut-on distribuer quatre cartes \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) en deux paquets ? Il y a 24 possibilités.

    \[\begin{split}\begin{array}{|cc|} \hline a & b \\ c & d \\ \hline \end{array}\end{split}\]
    \[\begin{split}\begin{array}{|cc|} \hline a & b \\ d & c \\ \hline \end{array}\end{split}\]
    \[\begin{split}\begin{array}{|cc|} \hline a & c \\ b & d \\ \hline \end{array}\end{split}\]
    \[\begin{split}\begin{array}{|cc|} \hline a & c \\ d & b \\ \hline \end{array}\end{split}\]
    \[\begin{split}\begin{array}{|cc|} \hline a & d \\ b & c \\ \hline \end{array}\end{split}\]
    \[\begin{split}\begin{array}{|cc|} \hline a & d \\ c & b \\ \hline \end{array}\end{split}\]
    \[\begin{split}\begin{array}{|cc|} \hline b & a \\ c & d \\ \hline \end{array}\end{split}\]
    \[\begin{split}\begin{array}{|cc|} \hline b & a \\ d & c \\ \hline \end{array}\end{split}\]
    \[\begin{split}\begin{array}{|cc|} \hline b & c \\ a & d \\ \hline \end{array}\end{split}\]
    \[\begin{split}\begin{array}{|cc|} \hline b & c \\ d & a \\ \hline \end{array}\end{split}\]
    \[\begin{split}\begin{array}{|cc|} \hline b & d \\ a & c \\ \hline \end{array}\end{split}\]
    \[\begin{split}\begin{array}{|cc|} \hline b & d \\ c & a \\ \hline \end{array}\end{split}\]
    \[\begin{split}\begin{array}{|cc|} \hline c & a \\ b & d \\ \hline \end{array}\end{split}\]
    \[\begin{split}\begin{array}{|cc|} \hline c & a \\ d & b \\ \hline \end{array}\end{split}\]
    \[\begin{split}\begin{array}{|cc|} \hline c & b \\ a & d \\ \hline \end{array}\end{split}\]
    \[\begin{split}\begin{array}{|cc|} \hline c & b \\ d & a \\ \hline \end{array}\end{split}\]
    \[\begin{split}\begin{array}{|cc|} \hline c & d \\ a & b \\ \hline \end{array}\end{split}\]
    \[\begin{split}\begin{array}{|cc|} \hline c & d \\ b & a \\ \hline \end{array}\end{split}\]
    \[\begin{split}\begin{array}{|cc|} \hline d & a \\ b & c \\ \hline \end{array}\end{split}\]
    \[\begin{split}\begin{array}{|cc|} \hline d & a \\ c & b \\ \hline \end{array}\end{split}\]
    \[\begin{split}\begin{array}{|cc|} \hline d & b \\ a & c \\ \hline \end{array}\end{split}\]
    \[\begin{split}\begin{array}{|cc|} \hline d & b \\ c & a \\ \hline \end{array}\end{split}\]
    \[\begin{split}\begin{array}{|cc|} \hline d & c \\ a & b \\ \hline \end{array}\end{split}\]
    \[\begin{split}\begin{array}{|cc|} \hline d & c \\ b & a \\ \hline \end{array}\end{split}\]

    Enfin, en attribuant les valeurs 1, 1, 2, 2 aux cartes \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), on obtient les probabilités décrites par les transitions allant de l’état \(A\) aux états \(B\), \(C\), \(F\), \(G\).

2.1.2. Probabilités

Cela va être compliqué de déterminer toutes les probabilités, mais nous pouvons en calculer quelques unes.

  • Tout d’abord, remarquons que si la partie commence en \(B\), \(F\) ou \(G\), le nombre de plis joués avant la fin est impair ; si la partie commence en \(C\), il est pair. Cela veut dire que la probablité d’avoir un nombre de plis pair est de \(1/3\), la probabilité d’avoir un nombre de plis impairs est \(2/3\).

  • La partie ne dure qu’un pli si et seulement si elle commence en \(F\) ou \(G\). Donc la probabilité d’avoir un seul pli est \(1/3\).

  • La partie ne dure que deux plis si et seulement si elle commence en \(C\), ce qui donne une probabilité de \(1/3\).

  • Sinon, la partie dure au moins trois plis, avec une probabilité de \(1/3\) également.

2.1.3. Comparaison

En étudiant les résultats d'un million de simulations (décrits à la partie précédente), on tombe sur les mêmes résultats.

Nombre de plis

Probablitié

Fréquence

Pair

1/3

0,332986

Impair

2/3

0,667014

1

1/3

0,333510

2

1/3

0,332986

3 et plus

1/3

0,333504

Les résultats théoriques sont concordants avec les observations des simulations. Cela signifie probablement l’une des deux choses suivantes :

  • soit mes calculs et ma simulation sont correctes ;

  • soit j’ai fait la même erreur dans les deux cas.

2.2. Généralisation

En théorie, il serait possible de généraliser cette méthode à n’importe quel nombre de cartes. En pratique, le nombre d’états de mon graphe serait énorme.

Étudions le cas avec une couleur de treize cartes. Il y aurait alors \(13!\times12\) états possibles. En effet, le nombre de combinaisons possibles de ces treize cartes en un tas unique est \(13!\), que l’on peut ensuite découper en deux tas de 12 manières différentes. Cela donne donc \(13!\times12\approx 7,5\times10^{10}\), soit plus de sept milliards d’états. Pour un jeu de 52 cartes (13 numéros pour chacune des 4 couleurs), le nombre d’états serait encore plus vertigineux.

À moins de trouver de très bonnes optimisations, étudier tous ces états avec un ordinateur me paraît inenvisageable.

2.3. Conclusion

À défaut de pouvoir généraliser cette analyse mathématique à plus de cartes, elle ne sert malheureusement qu’à valider le modèle informatique décrit dans la partie qui précède.