mpa — Calcul du nombre d’histoires dans Ma Première Aventure¶

La série de livres Ma Première Aventure raconte des « histoires dont tu es le tout petit héros » : à plusieurs endroits dans le livre, il faut choisir quelle page tourner en fonction de l’histoire. Il est ainsi possible de raconter différentes histoires (et d’obtenir trois fins différentes) en fonction des choix effectués.

Dans cette page, donc calculons combien d’histoires il est possible de raconter avec un seul livre, et quelle est la probabilité de victoire.

Résultats ¶

Voici, pour les pressé·e·s, les résultats.

Nombres d’histoires et probabilités de victoire ¶

N°	Titre	Nombre d’histoires	(dont victoires)	Probabilité de victoire	Solutions
1	En quête du dragon (seconde édition)	5184	60	1,08 %	`complet` `minimal`
2	La Découverte de l’Atlantide (seconde édition)	5184	72	1.39 %	`complet` `minimal`
8	Sur la piste du dahu (seconde édition)	5184	60	1,47 %	`complet` `minimal`
9	La Bibliothèque infinie	2484	64	2,62 %	`complet` `minimal`
10	Pattie et l’Épreuve des dieux	2304	106	4,22 %	`complet` `minimal`

Quelques commentaires :

Nous considérons ici que la même histoire racontée avec deux personnages différents est comptée deux fois.
La probabilité de victoire est définie comme la probabilité de gagner en faisant chacun des choix au hasard. Elle ne correspond pas toujours à la fréquence des histoires menant à la victoire. C’est normal : toutes les histoires ne sont pas équiprobables.
Deux graphes des solutions sont proposés pour l’ensemble des chemins menant à la victoire : complet propose tous les chemins possibles, alors que dans minimal, seuls les choix non contraints sont présentés (par exemple, si sur trois alternatives, seule la seconde est possible car on ne possède pas l’objet nécessaire pour les deux autres, ce choix n’est pas affiché sur ce second graphe).

Probabilité de victoire avec les différents personnages ¶

Ces probabilités ont été obtenues avec la commande mpa proba LIVRE --préfixe PERSONNAGE. Par exemple, pour obtenir la probabilité de gagner avec Lina dans En quête du dragon, la commande suivante donne la réponse : mpa proba dragon --préfixe Pl.

En quête du dragon (seconde édition)

Lina

Sachat

Timon

1,08 %

1,08 %

1,08 %
La Découverte de l’Atlantide (seconde édition)

Béhémoth

Espadon

Manta

1,39 %

1,39 %

1,39 %

Sur la piste du dahu (seconde édition)

Aïvy & Barry

Aïvy & Pérégrine

Will & Barry

Will & Pérégrine

1,17 %

1,68 %

0,99 %

1,47 %
La Bibliothèque infinie

Camille

Lilon

Lucien

2,78 %

2,78 %

2,31 %
Pattie et l’Épreuve des dieux

Chickos

Pattie

Sam

7,92 %

1,54 %

3,19 %

Explications ¶

Nous prenons comme exemple ici la seconde édition de En quête du dragon, mais le principe est le même pour tous les livres de la collection.

Description des choix ¶

Cette page sera mieux compréhensible en ayant lu l’histoire (voire en ayant le livre sous les yeux), mais essayons quand-même.

Le premier choix à faire est celui du personnage : trois sont disponibles.
Le deuxième choix s’effectue dans le village : allons-nous visiter le moulin, la grange, ou la maison du cartographe ? Il y a derrière chacun de ces choix un nouveau choix entre deux alternatives, soit libres, soit déterminées par le personnage choisi.
Le choix précédent (trois possibilités, puis deux pour chacune des trois) est répété cinq nouvelles fois, avec parfois des contraintes (fonction du personnage, ou des objets récoltés plus tôt dans l’histoire).
À la fin, en fonction du nombre de « bobos » subis, il y a trois fins : victoire, défaite, ou entre les deux.

Nombre d’histoires ¶

Calcul mathématique ¶

Un premier calcul naïf donne donc comme nombre d’histoires : $3\times (3\times2)^6\times3$ :

trois personnages ;
trois alternatives, puis deux alternatives selon le choix précédent ($3\times2$), le tout répété six fois (puissance 6) ;
trois fins possibles.

Mais ce calcul est faux, car tous les choix ne sont pas libres :

certains chemins sont contraints par le personnage ou l’objet ;
les fins sont contraintes par le nombre de « bobos ».

En ne regardant que les choix libres, le nombre de chemins possibles est donc :

trois personnages ;
trois alternatives, suivi de (globalement) quatre alternatives possibles (puisque certains choix sont contraints), le tout répété trois fois ($4^3$) ;
trois alternatives, suivi d’un choix contraint, le tout répété trois fois ($3^3$) ;
la fin est contrainte en fonction du nombre de bobos, donc aucun choix ici.

Cela donne donc $3\times4^3\times3^3=5184$ histoires possibles.

Mais en faisant cela, nous avons fait une interprétation particulière du problème. En effet, si un même chemin peut être emprunté par deux personnages différents, devons nous compter cela comme un seul chemin, ou deux ? Le résultat précédent (5184 histoires possibles) compte comme deux chemins le même chemin emprunté par deux personnages différents.

Combien d’histoires sont possibles en comptant une seule fois plusieurs chemins empruntés par des personnages différents ? Je ne sais pas comment le faire par le calcul. Faisons le de manière informatique.

Calcul informatique ¶

Quelques objets ou famille de fonctions sont définies.

D’abord, une page est simplement une liste de choix, assortie d’une éventuelle fin (victoire, défaite, ou entre les deux).

class jouets.mpa.graphe.Page(choix: Iterable[Choix] = <factory>, fin: typing.Optionnal[str] = None, roues: typing.Optionnal[dict] = <factory>, descriptions: dict = <factory>)[source]¶

Une page, qui contient plusieurs choix.

choix: Iterable[Choix]¶

Liste des choix possibles

descriptions: dict¶

Éventuelles descriptions pour les codes

fin: Optionnal[str] = None¶

Si None, le livre n’est pas terminé. Sinon, indique la fin (victoire, défaite, ni l’une ni l’autre).

roues: Optionnal[dict]¶

Éventuelles valeurs de départ pour les roues. Cela n’a de sens que pour le début du livre.
Puis un choix qui lui a davantage d’attributs:

class jouets.mpa.graphe.Choix(code: str, cible: ~jouets.mpa.graphe.Page, condition: ~typing.Callable = <function _condition_vrai>, effet: ~typing.Callable = <function _effet_rien.<locals>.emballé>)[source]¶

Une alternative possible lors d’un choix

cible: Page¶

Page à laquelle on va si on fait ce choix.

code: str¶

Code qui sera utilisé pour ce choix lorsque les histoires seront affichées.

condition()¶

Condition pour pouvoir faire ce choix. Par défaut, aucune condition n’est requise.

effet()¶

Effet si ce choix est effectué. C’est un des attributs de Effet. Par exemple, effet = Effet.affecte(vert="bouclier") signifie : « Mettre le bouclier sur la roue verte ».
Les effets à appliquer en tournant les pages (« Ajoute le marteau sur la roue jaune », « Ajoute une relique sur la roue verte », etc.) :

jouets.mpa.graphe.Effet¶

Effets pouvant être appliqués.

Effet.affecte()¶

Affecte des choses aux roues.

Par exemple, _effet_affecte(bleu= »marteau ») ajoute un marteau à la roue bleue.

Effet.affecteSiVide()¶

Affecte des choses aux roues, si elles sont vides.

Par exemple, _effet_affecte(bleu= »marteau ») ajoute un marteau à la roue bleue, si la roue ne contenait rien (clef absente du dictionnaire, ou valeur égale à None).

Effet.ajoute()¶

Ajoute une valeur à une des roues.

Effet.rien()¶

Ne fait rien.

Effet.et()¶

Applique plusieurs effets.
Enfin, des conditions à vérifier (« Il y a un ou deux bobos », « Tu es le personnage Lina », « Tu as les chaussons ou tu es Sachat », etc.) sont construites à partir des fonctions suivantes.

jouets.mpa.graphe.Condition¶

Conditions à vérifier pour être autorisé·e à faire ce choix

Condition.compte(inf: Number = -inf, sup: Number = inf)¶

Le nombre de roues ayant une certaine valeur est comprise dans l’intervalle.

Par exemple, Condition.compte("bobo", inf=2) signifie qu’au moins deux roues ont la valeur "bobo".

Condition.non()¶

Vérifie que la condition n’est pas satisfaite.

Condition.ou()¶

L’une des conditions données en argument est vérifiée.

Condition.et()¶

Toutes les conditions données en argument sont vérifiées.

Condition.roue()¶

Les roues contiennent tous les objets donnés en argument.

Par exemple, Condition.roue(jaune="chaussons", rouge="Lina") vérifie que - les chaussons sont sur la roue jaune, et - le personnage de la roue rouge est Lina.

Condition.vrai()¶

Cette condition est toujours vérifiée.

Condition.intervalle(inf=-inf, sup=inf)¶

Voici par exemple la première page du livre. Elle contient simplement que trois choix sont possibles, sans conditions, sans effets.

pageTuVisDansUn = Page(
    choix=(
        Choix(code="H", cible=pageDemanderDeLAide),
        Choix(code="M", cible=pageFouillerLaGrangeAbandonnée),
        Choix(code="B", cible=pageVolerUneCarteChez),
    )
)

Le premier choix avec conditions est celui-ci :

pageDemanderDeLAide = Page(
    choix=(
        Choix(
            # Si la roue rouge est Sachat,
            # alors tourner une page vers la page « Alors que tu quittes… »
            code="1",
            condition=Condition.roue(rouge="Sachat"),
            cible=pageAlorsQueTuQuittes,
        ),
        Choix(
            # Si la rouge rouge n'est pas Sachat,
            # alors ajoute la pierre sur la roue verte,
            # et tourne deux pages vers la page « Alors que tu quittes… »
            code="2",
            condition=condition_non(Condition.roue(rouge="Sachat")),
            effet=Effet.affecte(vert="pierre"),
            cible=pageAlorsQueTuQuittes,
        ),
    )
)

Enfin, pour compter le nombre de chemins (dans la méthode Histoire.histoires()), nous allons itérer sur les choix, si la condition est remplie.

    def histoires(self):
        """Itère sur toutes les histoires possibles."""
        if self.page.choix:
            for histoire in self.suivantes():
                yield from histoire.histoires()
        else:
            yield self

Résultats ¶

À l’aide de ce programme, nous obtenons une liste de codes, par exemple PlH2B1H2B2H2B2B2 :

Pl : choisir le personnage Lina ;
H2 : au premier choix, tourner la page du haut, puis faire le choix qui fait tourner deux pages ;
B1 : au second choix, tourner la page du bas, puis faire le choix qui fait tourner une seule page ;
H2, B2, H2, B2 : etc.
B2 : à la fin, tourner la page du bas (défaite) puis faire le choix qui fait tourner deux pages.

Notre programme affiche la liste brute de tous les chemins possibles, mais avec quelques commandes shell, nous pouvons répondre à quelques questions :

Combien d’histoires sont possibles (sachant que le même chemin suivi par deux personnages compte comme deux histoires) ?
```
$ mpa histoires dragon | wc -l
5184
```
Nous retrouvons le nombre calculé dans la partie précédente.

Combien d’histoires sont possibles (sachant que le même chemin suivi par deux personnages compte comme une seule histoire) ?

$ mpa histoires dragon | # Génère toutes les histoires \
> cut -c3- | # Supprime la première lettre (choix du personnage) \
> sort -u | # Trie les histoires, et ne conserve qu'un exemplaire des histoires identiques \
> wc -l # Compte le nombre d'histoires
4783

En considérant le même chemin suivi par deux personnages différent comme deux histoires :

Combien d’histoires mènent à la victoire ?

$ mpa histoires dragon | # Génère toutes les histoires \
grep H$ | # Ne conserve que celles qui se terminent par "H" (ce qui correspond à une victoire) \
wc -l # Compte le nombre d'histoires
60

Combien d’histoires mènent à une semi-victoire semi-défaite ?

$ mpa histoires dragon | # Génère toutes les histoires \
grep M$ | # Ne conserve que celles qui se terminent par "M" (ce qui correspond à une semi-victoire semi-défaite) \
wc -l # Compte le nombre d'histoires
3024

Combien d’histoires mènent à une défaite ?

$ mpa histoires dragon | # Génère toutes les histoires \
grep B[12]$ | # Ne conserve que celles qui se terminent par "B" suivi de 1 ou 2 (ce qui correspond à une défaite) \
wc -l # Compte le nombre d'histoires
2100

Bilan : Sur 5184 histoires, il y en a donc seulement 60 qui mènent à la victoire, soit à peine 1,2 % environ.

Probabilité de victoire ¶

Puisque 1,2 % des histoires mènent à la victoire, nous pourrions être tenté d’affirmer que la probabilité de victoire en tournant les pages au hasard est de 1,2 %. Mais nous faisons ici l’erreur de croire que toutes les histoires sont équiprobables, ce qui n’est pas le cas (certaines histoires ont plus de chance d’être racontées au hasard que d’autres).

La classe Page a une méthode Histoire.proba() qui permet de calculer la probabilité d’une fin donnée. C’est une fonction récursive :

Si la fin de la page est connue (c’est la page qui annonce la victoire, ou la défaite, ce qui est déterminé en regardant l’attribut Page.fin), la probabilité est 0 ou 1, suivant que c’est la fin recherchée.
Si la fin n’est pas connue (l’attribut Page.fin est None), la probabilité d’obtenir la fin cherchée est la moyenne des probabilités d’obtenir cette fin pour chacun des choix possibles de cette page.

    def proba(self, fin: str, préfixe: typing.Optionnal(list[str]) = None):
        """Calcule la probabilité d'obtenir la fin donnée en argument."""
        if préfixe is None:
            préfixe = []
        if self.page.fin is not None:
            # C'est une page finale
            if self.page.fin == fin:
                return 1
            return 0
        # Ce n'est pas une page finale :
        # Calcule la moyenne des probabilités de de victoire pour chacun des choix.
        try:
            return statistics.mean(
                histoire.proba(fin, préfixe=préfixe[1:] if préfixe else None)
                for histoire in self.suivantes(préfixe=préfixe)
            )
        except statistics.StatisticsError:
            # Aucune histoire avec ce préfixe
            return 0

Nous obtenons alors les probabilités suivantes.

$ mpa proba dragon
Probabilité de bof : 0.5648148148148149
Probabilité de défaite : 0.4243827160493827
Probabilité de victoire : 0.010802469135802469

Et comme on pouvait s’en douter, la probabilité de victoire (1,08 %) n’est pas égale à la proportions d’histoires victorieuses (1,16 %).

Chemins victorieux ¶

Enfin, une fois le livre représenté comme un graphe (dans les parties précédentes), il devient relativement aisé de représenter toutes les histoires victorieuses possibles. Le résultat est du code $\LaTeX$ qui, une fois compilé, donne le dessin suivant (en PDF).

Légende :

L, S, T : Choix des personnages (Lina, Sachat, Timon).
H, M, B : Morceau de page à tourner (Haut, Milieu, Bas).
1, 2 : Tourner une ou deux pages.

Remarquez que le graphique n’affiche que les choix incertains : les choix dans lesquels une seule alternative est possible ne sont pas affichés ici (une option du programme permet de les afficher tout de même).

mpa — Calcul du nombre d’histoires dans Ma Première Aventure¶

Résultats ¶

Nombres d’histoires et probabilités de victoire ¶

Probabilité de victoire avec les différents personnages ¶

Explications ¶

Description des choix ¶

Nombre d’histoires ¶

Calcul mathématique ¶

Calcul informatique ¶

Résultats ¶

Probabilité de victoire ¶

Chemins victorieux ¶

jouets

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